तृतीय समानुपाती · Third Proportional Formula

संक्षेप में | In Brief

जब तीन संख्याएँ $a, b, c$ निरंतर समानुपात (continued proportion) में होती हैं, तो तीसरी संख्या $c$ को तृतीय समानुपाती कहा जाता है। इसका सीधा मतलब है कि जो अनुपात $a$ और $b$ का है, वही अनुपात $b$ और $c$ का होगा ($a:b :: b:c$)।

When three numbers $a, b, c$ are in continued proportion, the third number $c$ is called the third proportional. It means the ratio of $a$ to $b$ is equal to the ratio of $b$ to $c$ ($a:b :: b:c$).

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• मुख्य सूत्र (Main Formula): $c = \frac{b^2}{a}$
  Trick: "दूसरे नंबर का स्क्वायर करो, पहले से डिवाइड करो।" (Square the second number and divide by the first).
• समानुपात का नियम (Rule of Proportion): $a:b = b:c \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
  Cross-multiply to get $ac = b^2$.
• बीजगणित में (In Algebra): यदि $a$ और $b$ बीजीय व्यंजक (algebraic expressions) हैं, तो भी यही सूत्र $c = \frac{b^2}{a}$ लागू होगा। बस गुणनखंड (factorization) का ध्यान रखें।

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

(Note: As no specific PYQs were provided, these are standard SSC-pattern synthesized examples)

Q: 12 और 30 का तृतीय समानुपाती ज्ञात कीजिए।

Find the third proportional to 12 and 30.

Step-by-step (Hindi):

यहाँ $a = 12$ और $b = 30$ है।

सूत्र $c = \frac{b^2}{a}$ का प्रयोग करें।

$c = \frac{30 \times 30}{12} = \frac{900}{12} = 75$

Answer: 75

Trap: जल्दबाजी में छात्र $\frac{12 \times 30}{2}$ कर देते हैं, जो गलत है। हमेशा $b$ का वर्ग करें।

Q: 9 और 15 का तृतीय समानुपाती क्या है?

What is the third proportional to 9 and 15?

Step-by-step (Hindi):

यहाँ $a = 9$ और $b = 15$ है।

सूत्र के अनुसार: $c = \frac{15^2}{9}$

$c = \frac{225}{9} = 25$

Answer: 25

Trap: कुछ छात्र इसे मध्यानुपाती (Mean proportional) समझकर $\sqrt{9 \times 15}$ निकालने लगते हैं।

Q: $(x^2 - y^2)$ और $(x - y)$ का तृतीय समानुपाती ज्ञात करें।

Find the third proportional to $(x^2 - y^2)$ and $(x - y)$.

Step-by-step (Hindi):

यहाँ $a = (x^2 - y^2)$ और $b = (x - y)$ है।

$c = \frac{(x - y)^2}{(x^2 - y^2)}$

$c = \frac{(x - y)(x - y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{x - y}{x + y}$

Answer: $\frac{x - y}{x + y}$

Trap: बीजगणित के सूत्रों ($a^2 - b^2$) को न खोलने पर उत्तर गलत आ सकता है।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: $a$ और $b$ का क्रम बदल देना।
  Why aspirants fall: प्रश्न में दिए गए पहले नंबर को हमेशा $a$ और दूसरे को $b$ मानना है। अगर आप $a^2/b$ कर देंगे तो उत्तर गलत हो जाएगा।
• Trap: मध्यानुपाती (Mean Proportional) से कंफ्यूजन।
  Why aspirants fall: छात्र अक्सर तृतीय समानुपाती की जगह $\sqrt{ab}$ निकाल देते हैं। याद रखें: मध्यानुपाती = $\sqrt{ab}$, तृतीय समानुपाती = $b^2/a$.
• Trap: दशमलव (Decimals) में गलती।
  Why aspirants fall: $0.2$ और $0.8$ का तृतीय समानुपाती निकालते समय दशमलव के स्थान गिनने में गलती होती है। ($\frac{0.8 \times 0.8}{0.2} = 3.2$)

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• mean-proportional-formula: मध्यानुपाती निकालने का सूत्र ($\sqrt{ab}$)।
• fourth-proportional-formula: चतुर्थ समानुपाती निकालने का सूत्र ($d = \frac{bc}{a}$)।
• ratio-and-proportion-basics: अनुपात और समानुपात के मूल नियम।