शेषफल प्रमेय · Remainder Theorem

संक्षेप में | In Brief

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) हमें किसी संख्या या व्यंजक को दूसरी संख्या से भाग देने पर बचने वाला शेषफल (remainder) जल्दी निकालने में मदद करता है। SSC में इसके सवाल मुख्य रूप से 'Negative Remainder' (नकारात्मक शेषफल) और घात (powers) वाले व्यंजकों पर आधारित होते हैं।

The Remainder Theorem helps find the remainder when a number or expression is divided by another. In SSC, questions heavily rely on the 'Negative Remainder' concept and power-based expressions.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• मूल नियम (Basic Rule): भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
  Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder.
  Trick: हमेशा याद रखें कि अंतिम शेषफल कभी भी भाजक (divisor) से बड़ा या ऋणात्मक (negative) नहीं हो सकता।
• नकारात्मक शेषफल (Negative Remainder Trick): यदि $a$ को $b$ से भाग देना है और $a$, $b$ से थोड़ा छोटा है, तो शेषफल $-(b-a)$ मान लें।
  If $a$ is slightly less than $b$, use $-(b-a)$ as the remainder to simplify calculations.
  Trick: जैसे $77 \div 78$ का शेषफल $-1$ लें। अंत में सही शेषफल निकालने के लिए इसे भाजक में जोड़ दें ($78 - 1 = 77$).
• घात वाले नियम (Power Rules): $\frac{(x+1)^n}{x}$ का शेषफल हमेशा $1$ होता है। $\frac{x^n}{x+1}$ का शेषफल $1$ होगा यदि $n$ सम (even) है, और $x$ होगा यदि $n$ विषम (odd) है।
  The remainder of $\frac{(x+1)^n}{x}$ is always 1. For $\frac{x^n}{x+1}$, it is 1 if $n$ is even, and $x$ if $n$ is odd.

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

Q: यदि (7777+ 77) को 78 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

If (7777+ 77) is divided by 78, then the remainder will be:

Step-by-step (Hindi):

• 7777 को 78 से भाग देने पर शेषफल 77 आता है (Negative remainder concept के अनुसार $(-1)^{odd} = -1 \rightarrow 78-1 = 77$, यहाँ 7777 असल में $77^{77}$ का रूप है)।
• अब दूसरे पद 77 को 78 से भाग देने पर शेषफल 77 ही रहेगा।
• दोनों शेषफलों को जोड़ें: (77 + 77) = 154.
• 154 को फिर से 78 से भाग दें: $154 \div 78$ करने पर शेषफल 76 आता है।

Answer: 1

Trap: Students might incorrectly assume 77 is the remainder if they only divide 77 by 78.

(Note: Only 1 PYQ was provided in the source data for this topic).

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: ऋणात्मक शेषफल को ही उत्तर मान लेना।
  Why aspirants fall: जल्दबाजी में छात्र $-1$ या $-2$ को ही उत्तर टिक कर देते हैं। हमेशा भाजक (divisor) को जोड़कर उसे धनात्मक (positive) बनाएं।
• Trap: बीच के चिह्न (+ या ×) को नज़रअंदाज़ करना।
  Why aspirants fall: व्यंजक में $(A + B)$ है या $(A \times B)$, इसे ध्यान से न देखने पर शेषफलों को गुणा करने की जगह जोड़ देते हैं या इसके विपरीत कर देते हैं।
• Trap: आंशिक भाग (Partial division) करके छोड़ देना।
  Why aspirants fall: Students might incorrectly assume 77 is the remainder if they only divide 77 by 78 (जैसा कि ऊपर के प्रश्न में है, दोनों पदों का शेषफल निकालना ज़रूरी है)।

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• divisibility-rules : विभाज्यता के नियम (2, 3, 4, 11 आदि)
• unit-digit : इकाई अंक ज्ञात करने की ट्रिक्स
• number-system-basics : संख्या पद्धति के मूल सिद्धांत