अनुपात और समानुपात · Ratio and Proportion

संक्षेप में | In Brief

अनुपात (Ratio) दो समान प्रकार की मात्राओं की तुलना करता है, यह बताता है कि एक मात्रा दूसरी की कितनी गुनी है। समानुपात (Proportion) दो अनुपातों की समानता को दर्शाता है (जैसे a:b = c:d)। SSC परीक्षाओं में इस टॉपिक से सीधे सवाल आते हैं, जहाँ स्पीड और शॉर्टकट ट्रिक्स सबसे ज्यादा काम आती हैं।

A ratio compares two quantities of the same kind, showing how many times one contains the other. A proportion shows that two ratios are equal. In SSC, speed and shortcut tricks are key here.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• संयुक्त अनुपात (Combined Ratio): यदि A:B = x:y और B:C = p:q है, तो A:B:C निकालने के लिए 'उल्टा N' (Inverted N) ट्रिक का प्रयोग करें।
  Trick: A:B:C = (x×p) : (y×p) : (y×q).
• सिक्कों वाले प्रश्न (Coins Problems): कुल मूल्य = सिक्कों की संख्या × सिक्के का मान (Denomination)।
  Trick: हमेशा अनुपात को सिक्के के मान से गुणा करके कुल मूल्य का अनुपात निकालें, फिर उसे वास्तविक कुल राशि के बराबर रखें।
• आय और व्यय (Income & Expenditure): आय = व्यय + बचत (Income = Expenditure + Savings)।
  Trick: जब प्रतिशत दिया हो, तो आय और व्यय के अनुपातों को किसी चर (variable) के साथ मानकर समीकरण बनाएँ।
• समानुपात के सूत्र (Proportion Formulas): यदि a, b, c समानुपात में हैं:
  * मध्यानुपाती (Mean Proportion) = $\sqrt{a \times b}$
  * तृतीयानुपाती (Third Proportion) = $\frac{b^2}{a}$
  * चतुर्थानुपाती (Fourth Proportion) = $\frac{b \times c}{a}$ (यदि a, b, c, d हैं)

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

Q: एक थैले में ₹1, ₹5 और ₹10 के सिक्के क्रमशः 3 : 5 : 7 के अनुपात में हैं। यदि थैले में कुल राशि ₹980 है, तो ₹10 के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।

A money bag contains one rupee, 5 rupee and 10 rupee coins in the ratio of 3 : 5 : 7 respectively. If the total amount in the bag is ₹980, then find the number of coins of ₹10.

Step-by-step (Hindi):

मान लें सिक्कों की संख्या 3x, 5x और 7x है।

कुल मूल्य = (1 × 3x) + (5 × 5x) + (10 × 7x) = 3x + 25x + 70x = 98x

प्रश्न के अनुसार, 98x = 980 ➔ x = 10

₹10 के सिक्कों की संख्या = 7x = 7 × 10 = 70

Answer: 2

Trap: छात्र अक्सर सिक्कों की संख्या के अनुपात (3+5+7=15) को सीधे 980 के बराबर रख देते हैं, जो गलत है। हमेशा मूल्य (Value) निकालें।

Q: P, Q और R की आय का अनुपात 10 : 12 : 9 है और उनके व्यय का अनुपात 12 : 15 : 8 है। यदि Q अपनी आय का 25% बचाता है, तो P, Q और R की बचत का अनुपात क्या है?

The incomes of P, Q and R are in the ratio 10 : 12 : 9 and their expenditures are in the ratio 12 : 15 : 8. If Q saves 25% of his income, then what is the ratio of the savings of P, Q and R?

Step-by-step (Hindi):

आय मान लें: 10x, 12x, 9x। व्यय मान लें: 12y, 15y, 8y।

Q की बचत = 12x - 15y। दिया है कि Q अपनी आय का 25% (1/4) बचाता है।

12x - 15y = $\frac{1}{4}$ × 12x ➔ 12x - 15y = 3x ➔ 9x = 15y ➔ $\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$

अब x=5 और y=3 रखें:

P की बचत = 10(5) - 12(3) = 50 - 36 = 14

Q की बचत = 12(5) - 15(3) = 60 - 45 = 15

R की बचत = 9(5) - 8(3) = 45 - 24 = 21

अनुपात = 14 : 15 : 21

Answer: 2

Trap: जल्दबाजी में छात्र P और R का अनुपात उल्टा (21:14:15) कर देते हैं। क्रम का ध्यान रखें।

Q: यदि A:B = 6:8 और B:C = 5:12 है, तो A:B:C क्या है?

If A:B = 6:8 and B:C = 5:12, then A:B:C is:

Step-by-step (Hindi):

A:B = 6:8 (इसे 3:4 भी लिख सकते हैं, लेकिन सीधे गुणा भी कर सकते हैं)

B:C = 5:12

B को समान बनाने के लिए, पहले अनुपात को 5 से और दूसरे को 8 से गुणा करें।

A:B = 30:40

B:C = 40:96

A:B:C = 30:40:96। 2 से काटने पर = 15:20:48

Answer: 4

Trap: छात्र अनुपातों को सीधे जोड़ देते हैं या B को समान किए बिना उत्तर निकाल लेते हैं।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: सिक्कों वाले प्रश्नों में मूल्य (Value) की जगह संख्या (Number) के अनुपात को कुल राशि के बराबर रख देना।
  Why aspirants fall: जल्दबाजी में वे सिक्के के मान (Denomination) से गुणा करना भूल जाते हैं।
• Trap: आय-व्यय के प्रश्नों में चरों (variables x और y) को मिला देना।
  Why aspirants fall: वे आय और व्यय दोनों के लिए एक ही चर 'x' मान लेते हैं, जिससे उत्तर गलत आता है।
• Trap: A:B:C निकालते समय B को समान (equalize) न करना।
  Why aspirants fall: वे सीधे A और C की वैल्यू रख देते हैं बिना यह देखे कि दोनों अनुपातों में B की वैल्यू अलग-अलग है।

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• percentages - प्रतिशत और अनुपात का गहरा संबंध है।
• mixtures-alligations - मिश्रण में अनुपात का सीधा उपयोग होता है।
• partnership - लाभ का बँटवारा निवेश के अनुपात में होता है।