द्विघात समीकरण · Quadratic Equation

संक्षेप में | In Brief

द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसकी अधिकतम घात (power) 2 होती है। इसका मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ है, जहाँ $a \neq 0$ होता है। SSC परीक्षाओं में सीधे मूल (roots) निकालने, मूलों के योग/गुणनफल और समीकरण बनाने पर प्रश्न आते हैं।

A quadratic equation is a second-degree polynomial equation in the form $ax^2 + bx + c = 0$. SSC tests focus on finding roots, sum/product of roots, and forming equations.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• मानक रूप (Standard Form): $ax^2 + bx + c = 0$
  Trick: हमेशा समीकरण को इस रूप में लाएं ताकि $a, b, c$ की सही पहचान हो सके।
• मूलों का योग (Sum of Roots): $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
  Trick: याद रखें, योग में हमेशा माइनस (-) का चिह्न आता है।
• मूलों का गुणनफल (Product of Roots): $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$
  Trick: गुणनफल हमेशा पॉजिटिव फॉर्मूले से शुरू होता है।
• समीकरण बनाना (Forming Equation): $x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0$
  Trick: $x^2 - (\text{Sum})x + (\text{Product}) = 0$. बीच वाले पद का चिह्न हमेशा उल्टा होता है।
• विविक्तकर (Discriminant, D): $D = b^2 - 4ac$
  Rule: यदि $D > 0$ (वास्तविक और भिन्न मूल), $D = 0$ (वास्तविक और समान मूल), $D < 0$ (काल्पनिक मूल)।

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

(Note: Synthesized general examples for SSC practice)

Q1: समीकरण $x^2 - 7x + 12 = 0$ के मूल (roots) ज्ञात कीजिए।

Find the roots of the equation $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Step-by-step (Hindi):

• हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणा 12 हो और जोड़ 7 हो।
• संख्याएँ 3 और 4 हैं ($3 \times 4 = 12$, $3 + 4 = 7$)।
• समीकरण में चिह्न $-7x$ है, इसलिए मूलों के चिह्न बदल दें: $+3$ और $+4$।

Answer: 3, 4

Trap: जल्दबाजी में छात्र -3 और -4 चुन लेते हैं। हमेशा अंत में चिह्न पलटें।

Q2: यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल 5 और -2 हैं, तो समीकरण क्या होगा?

If the roots of a quadratic equation are 5 and -2, what is the equation?

Step-by-step (Hindi):

• मूलों का योग (Sum) = $5 + (-2) = 3$
• मूलों का गुणनफल (Product) = $5 \times (-2) = -10$
• सूत्र: $x^2 - (\text{Sum})x + (\text{Product}) = 0$
• $x^2 - (3)x + (-10) = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

Answer: $x^2 - 3x - 10 = 0$

Trap: छात्र $x^2 + 3x - 10 = 0$ टिक कर देते हैं क्योंकि वे सूत्र का माइनस चिह्न भूल जाते हैं।

Q3: समीकरण $2x^2 - 8x + 5 = 0$ के मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात करें।

Find the sum and product of the roots for $2x^2 - 8x + 5 = 0$.

Step-by-step (Hindi):

• यहाँ $a = 2, b = -8, c = 5$ है।
• मूलों का योग = $-b/a = -(-8)/2 = 8/2 = 4$
• मूलों का गुणनफल = $c/a = 5/2$

Answer: योग = 4, गुणनफल = 5/2

Trap: $a$ (जो कि 2 है) से भाग देना भूल जाना। कई छात्र योग 8 और गुणनफल 5 लिख देते हैं।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: मूलों का योग निकालते समय माइनस चिह्न भूल जाना।
  Why aspirants fall: छात्र सीधे $b/a$ कर देते हैं, जबकि सही सूत्र $-b/a$ है।
• Trap: $x^2$ के गुणांक (coefficient 'a') को नज़रअंदाज़ करना।
  Why aspirants fall: जब समीकरण $3x^2 - 5x + 2 = 0$ होता है, तो छात्र योग 5 मान लेते हैं, जबकि यह $5/3$ होना चाहिए।
• Trap: शॉर्टकट से मूल निकालते समय चिह्न न पलटना।
  Why aspirants fall: गुणनखंड (factors) निकालने के बाद छात्र वही चिह्न उत्तर में टिक कर देते हैं, जबकि मूलों के चिह्न हमेशा विपरीत होते हैं।

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