पाइथागोरियन ट्रिपलेट्स · Pythagorean Triplets

संक्षेप में | In Brief

पाइथागोरियन ट्रिपलेट्स तीन धनात्मक पूर्णांकों $(a, b, c)$ का समूह है जो $a^2 + b^2 = c^2$ को संतुष्ट करते हैं। ये समकोण त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाते हैं, जहाँ $c$ सबसे बड़ी भुजा (कर्ण) होती है।

Pythagorean triplets are a set of three positive integers $(a, b, c)$ that satisfy $a^2 + b^2 = c^2$. They represent the sides of a right-angled triangle, where $c$ is the longest side (hypotenuse).

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• Standard Triplets: सबसे महत्वपूर्ण ट्रिपलेट्स जिन्हें रटना है: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (20, 21, 29)।
  Most important triplets to memorize: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (20, 21, 29).
• Multiples Rule: किसी भी ट्रिपलेट को समान संख्या से गुणा करने पर नया ट्रिपलेट बनता है। (Trick: 3,4,5 को 2 से गुणा करें -> 6,8,10)।
  Multiplying a triplet by the same number gives a new triplet. (e.g., 3,4,5 x 2 -> 6,8,10).
• Odd Number Trick: यदि सबसे छोटी भुजा $n$ (विषम) है, तो अन्य दो भुजाएं $\frac{n^2-1}{2}$ और $\frac{n^2+1}{2}$ होंगी।
  If the shortest side $n$ is odd, the other two sides are $\frac{n^2-1}{2}$ and $\frac{n^2+1}{2}$.
• Even Number Trick: यदि सबसे छोटी भुजा $n$ (सम) है, तो अन्य दो भुजाएं $(\frac{n}{2})^2 - 1$ और $(\frac{n}{2})^2 + 1$ होंगी।
  If the shortest side $n$ is even, the other two sides are $(\frac{n}{2})^2 - 1$ and $(\frac{n}{2})^2 + 1$.

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

(Note: Synthesized examples based on common SSC patterns as specific PYQs were not provided)

Q: एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 65 cm है और एक भुजा 63 cm है। दूसरी भुजा की लंबाई क्या है?

The hypotenuse of a right-angled triangle is 65 cm and one side is 63 cm. What is the length of the other side?

Step-by-step (Hindi):

• पाइथागोरस प्रमेय लगाने से समय बर्बाद होगा ($65^2 - 63^2$)।
• सीधे ट्रिपलेट याद करें: (16, 63, 65)।
• इसलिए, तीसरी भुजा 16 cm होगी।

Answer: 16 cm

Trap: छात्र $65^2$ और $63^2$ की गणना करने में समय बर्बाद करते हैं।

Q: एक आयत की लंबाई 24 cm और चौड़ाई 10 cm है। इसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

The length of a rectangle is 24 cm and width is 10 cm. Find the length of its diagonal.

Step-by-step (Hindi):

• आयत का विकर्ण समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है।
• भुजाएं 10 और 24 हैं। इनमें से 2 कॉमन लें: $2 \times (5, 12, ?)$
• हम जानते हैं कि (5, 12, 13) एक ट्रिपलेट है।
• तो विकर्ण = $2 \times 13 = 26$ cm.

Answer: 26 cm

Trap: $10^2 + 24^2$ को जोड़कर वर्गमूल निकालने में गलती हो सकती है।

Q: एक वृत्त की त्रिज्या 17 cm है। केंद्र से 8 cm की दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई क्या होगी?

The radius of a circle is 17 cm. What will be the length of a chord at a distance of 8 cm from the center?

Step-by-step (Hindi):

• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है। यहाँ एक समकोण त्रिभुज बनता है।
• कर्ण (त्रिज्या) = 17, लंब (दूरी) = 8.
• ट्रिपलेट (8, 15, 17) का उपयोग करें। जीवा का आधा हिस्सा = 15 cm.
• पूरी जीवा = $15 \times 2 = 30$ cm.

Answer: 30 cm

Trap: छात्र अक्सर जीवा का आधा हिस्सा (15) निकालकर उसी को उत्तर मान लेते हैं।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: ट्रिपलेट्स के गुणजों (multiples) को न पहचान पाना। Why aspirants fall: वे (15, 36, 39) जैसे बड़े नंबर देखकर घबरा जाते हैं, जबकि यह सिर्फ $3 \times (5, 12, 13)$ है।
• Trap: जीवा (Chord) वाले प्रश्नों में आधा उत्तर देना। Why aspirants fall: ट्रिपलेट से 15 आता है, और वे उसे ही टिक कर देते हैं, जबकि जीवा की कुल लंबाई $15 \times 2 = 30$ होती है।
• Trap: कर्ण (Hypotenuse) को गलत भुजा मान लेना। Why aspirants fall: ट्रिपलेट में हमेशा सबसे बड़ी संख्या कर्ण होती है, यदि प्रश्न में कर्ण 24 दिया है तो (7, 24, 25) नहीं लगेगा।

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• right-angled-triangle: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र।
• circle-chords: वृत्त की जीवा और स्पर्शरेखा के नियम।
• mensuration-2d: 2D आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना।