मध्यानुपाती सूत्र · Mean Proportional Formula

संक्षेप में | In Brief

जब तीन संख्याएँ $a, b, c$ निरंतर अनुपात (continued proportion) में होती हैं, तो बीच वाली संख्या $b$ को $a$ और $c$ का मध्यानुपाती (Mean Proportional) कहा जाता है। इसे निकालने के लिए दोनों संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल (square root) लिया जाता है।

When three numbers $a, b, c$ are in continued proportion, the middle number $b$ is called the mean proportional of $a$ and $c$. It is calculated by taking the square root of their product.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• मध्यानुपाती का मुख्य सूत्र: यदि $a$ और $c$ दो संख्याएँ हैं, तो उनका मध्यानुपाती $b = \sqrt{a \times c}$ होता है।
  The main formula for mean proportional between $a$ and $c$ is $b = \sqrt{a \times c}$.
  Trick: संख्याओं को गुणा करने से पहले उनके अलग-अलग वर्गमूल निकाल लें (जैसे $\sqrt{16 \times 25} = 4 \times 5 = 20$), इससे calculation में समय बचेगा।
• निरंतर अनुपात का नियम: $a:b :: b:c$ जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$।
  Rule of continued proportion: $a:b :: b:c$ which means $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$.
  Trick: Cross-multiply करने पर हमेशा $b^2 = ac$ मिलता है।

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

(Note: As specific PYQs were not provided, these are highly representative SSC standard examples)

Q: 16 और 25 का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।

Find the mean proportional between 16 and 25.

Step-by-step (Hindi):

• सूत्र $b = \sqrt{a \times c}$ का प्रयोग करें।
• $b = \sqrt{16 \times 25}$
• गुणा करने के बजाय सीधे वर्गमूल निकालें: $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = 20$.

Answer: 20

Trap: छात्र पहले $16 \times 25 = 400$ करते हैं, जिससे बड़ी संख्याओं में समय बर्बाद होता है।

Q: 0.04 और 0.36 का मध्यानुपाती क्या होगा?

What will be the mean proportional of 0.04 and 0.36?

Step-by-step (Hindi):

• $b = \sqrt{0.04 \times 0.36}$
• दशमलव को भिन्न में बदलें: $\sqrt{\frac{4}{100} \times \frac{36}{100}}$
• वर्गमूल निकालें: $\frac{2}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{12}{100} = 0.12$

Answer: 0.12

Trap: दशमलव स्थान (decimal places) गिनने में गलती होती है और छात्र 1.2 या 0.012 चुन लेते हैं।

Q: यदि 9 और $x$ का मध्यानुपाती 15 है, तो $x$ का मान ज्ञात करें।

If the mean proportional between 9 and $x$ is 15, find the value of $x$.

Step-by-step (Hindi):

• सूत्र के अनुसार: $15 = \sqrt{9 \times x}$
• दोनों तरफ वर्ग (square) करें: $15^2 = 9 \times x$
• $225 = 9x \implies x = \frac{225}{9} = 25$

Answer: 25

Trap: छात्र जल्दबाजी में $x = \sqrt{15 \times 9}$ कर देते हैं, जो कि गलत समीकरण है।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: दशमलव की गलतियाँ (Decimal Errors)।
  Why aspirants fall: $\sqrt{0.9 \times 0.1}$ को हल करते समय दशमलव के स्थान गलत गिन लेते हैं। हमेशा भिन्न (fractions) में बदलकर हल करें।
• Trap: बड़ी संख्याओं का गुणा करना।
  Why aspirants fall: $\sqrt{144 \times 81}$ में पहले गुणा करने बैठ जाते हैं। हमेशा $\sqrt{144} \times \sqrt{81} = 12 \times 9$ करें।
• Trap: मध्यानुपाती और तृतीयानुपाती (Third Proportional) में भ्रम।
  Why aspirants fall: मध्यानुपाती $\sqrt{ab}$ होता है, जबकि तृतीयानुपाती $\frac{b^2}{a}$ होता है। जल्दबाजी में गलत सूत्र लगा देते हैं।

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