रैखिक समीकरण · Linear Equations

संक्षेप में | In Brief

रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर (variable) की अधिकतम घात 1 होती है। SSC में ये मुख्य रूप से आयु (age), संख्या (numbers) और आय-व्यय (income-expenditure) वाले word problems में पूछे जाते हैं।

A linear equation is an equation where the highest power of the variable is 1. In SSC, these are mainly tested via word problems based on age, numbers, and income-expenditure.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• एक चर वाला समीकरण (One Variable): $ax + b = 0$
  Trick: चर (variable) को एक तरफ और संख्याओं को दूसरी तरफ ले जाएं।
• दो चर वाले समीकरण (Two Variables): $ax + by + c = 0$
  Trick: दो चर (variables) का मान निकालने के लिए हमेशा दो अलग-अलग समीकरणों की आवश्यकता होती है।
• प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method): एक समीकरण से $x$ का मान निकालकर दूसरे में रखें।
  Trick: जब एक चर का गुणांक (coefficient) 1 हो, तब यह विधि सबसे तेज होती है।
• विलोपन विधि (Elimination Method): गुणांक (coefficients) समान करके एक चर को काट दें।
  Trick: SSC में विलोपन विधि (Elimination) सबसे ज्यादा समय बचाती है। सीधे जोड़ें या घटाएं।

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

(Note: As no specific PYQs were provided, these are synthesized based on standard SSC patterns)

Q: एक सोसाइटी में, पुरुषों की संख्या महिलाओं से 80 अधिक है। पुरुषों में 30% लड़के हैं और महिलाओं में 35% लड़कियां हैं। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 15 कम है, तो कुल जनसंख्या ज्ञात करें।

In a society, males are 80 more than females. 30% of males are boys, 35% of females are girls. If girls are 15 less than boys, find total population.

Step-by-step (Hindi):

माना महिलाएं = $F$, पुरुष = $M$

समीकरण 1: $M = F + 80$

समीकरण 2: $0.35F = 0.30M - 15$

$M$ का मान रखने पर: $0.35F = 0.30(F + 80) - 15$

$0.05F = 24 - 15 = 9 \Rightarrow F = 180$

$M = 180 + 80 = 260$. कुल = $180 + 260 = 440$.

Answer: 440

Trap: केवल पुरुषों या महिलाओं की संख्या निकालकर उसे ही उत्तर मान लेना।

Q: 7 वर्ष पहले X और Y की आयु का योग 86 था। यदि X, Y से 10 वर्ष बड़ा है, तो X की वर्तमान आयु क्या है?

The sum of X and Y's age 7 years ago was 86. If X is 10 years older than Y, what is X's present age?

Step-by-step (Hindi):

7 वर्ष पहले योग = 86

वर्तमान योग = $86 + 7 + 7 = 100$ (दोनों की आयु 7-7 वर्ष बढ़ेगी)

समीकरण: $X + Y = 100$ और $X - Y = 10$

दोनों को जोड़ने पर: $2X = 110 \Rightarrow X = 55$

Answer: 55

Trap: वर्तमान योग निकालते समय 7 केवल एक बार जोड़ना (86 + 7 = 93 कर देना)।

Q: दो संख्याओं का योग 40 है और उनका अंतर 12 है। बड़ी संख्या ज्ञात करें।

The sum of two numbers is 40 and their difference is 12. Find the larger number.

Step-by-step (Hindi):

माना संख्याएं $x$ और $y$ हैं।

$x + y = 40$

$x - y = 12$

दोनों समीकरणों को सीधे जोड़ने पर: $2x = 52 \Rightarrow x = 26$

Answer: 26

Trap: समीकरण को हल करते समय चिह्न (signs) की गलती करना और छोटी संख्या (14) निकाल देना।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: आयु वाले प्रश्नों में 'पहले' और 'बाद' में गलती करना।
  Why aspirants fall: वर्तमान आयु में जोड़ना/घटाना भूल जाते हैं और सीधे पुराने योग से समीकरण बना लेते हैं।
• Trap: Word problems में गलत चर (variable) मान लेना।
  Why aspirants fall: प्रश्न को ध्यान से पढ़े बिना सीधे $x$ और $y$ मान लेते हैं, जिससे calculation लंबी हो जाती है। एक ही चर (जैसे $x$ और $x+80$) का प्रयोग करें।
• Trap: प्रतिशत वाले समीकरणों में दशमलव (decimal) की गलती।
  Why aspirants fall: 30% को 0.3 की जगह 3 लिख देते हैं, जिससे पूरा समीकरण गलत हो जाता है।

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• quadratic-equations: द्विघात समीकरण के मूल और सूत्र।
• age-problems: आयु पर आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न।
• percentages: प्रतिशत को भिन्न में बदलने के नियम।