भारित औसत · Weighted Average

संक्षेप में | In Brief

जब अलग-अलग समूहों की संख्या (या भार) अलग-अलग होती है, तो हम साधारण औसत की जगह भारित औसत (Weighted Average) का उपयोग करते हैं। इसमें हर समूह के औसत को उसकी संख्या से गुणा करके कुल योग निकाला जाता है।

Weighted average is used when different groups contribute differently to the final average based on their size or weight.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• भारित औसत का सूत्र (Weighted Average Formula): $A_w = \frac{n_1A_1 + n_2A_2}{n_1 + n_2}$
  Trick: "Total Sum / Total Ratio" method लगाएं। असली संख्या की जगह हमेशा अनुपात (ratio) का उपयोग करें।
• आयु वाले प्रश्न (Age Problems): 'n' साल पहले जाने के लिए सभी सदस्यों की आयु 'n' घटानी पड़ती है।
  Trick: Past में जाने के लिए Total Age में से (Total Members × n) घटाएं।
• एलिगेशन विधि (Alligation Method): जब दो समूहों का औसत और कुल औसत दिया हो, तो उनकी संख्या का अनुपात निकालने के लिए एलिगेशन सबसे तेज है।
  Trick: Cross-difference निकालें, वही संख्या का अनुपात होगा।

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

Q: एक परिवार के 5 सदस्यों की औसत आयु 24 वर्ष है। यदि सबसे छोटे सदस्य की आयु 8 वर्ष है, तो सबसे छोटे सदस्य के जन्म के समय परिवार की औसत आयु (वर्षों में) क्या थी?

The average of 5 members of a family is 24 years. If the youngest member is 8 years old, then what was the average age (in years) of the family at the time of the birth of the youngest member?

Step-by-step (Hindi):

• वर्तमान कुल आयु = 5 × 24 = 120 वर्ष।
• 8 वर्ष पहले (जन्म के समय) कुल आयु = 120 - (5 × 8) = 120 - 40 = 80 वर्ष।
• जन्म के समय परिवार में केवल 4 सदस्य थे (बच्चे को छोड़कर)।
• औसत आयु = 80 / 4 = 20 वर्ष।

Answer: 2

Trap: Confuses the new average with the average before the 10th match. (छात्र अक्सर 5 से भाग दे देते हैं, जबकि सदस्य 4 ही थे)।

Q: दो दोस्त राम और रवि की उम्र में 7 साल का अंतर है। राम की माँ मायादेवी राम से तीन गुना बड़ी हैं, और रवि अपने भाई सोहम से चार गुना बड़ा है। मायादेवी और सोहम की उम्र में 65 साल का अंतर है। मायादेवी की उम्र (वर्षों में) ज्ञात कीजिए।

The ages of two friends, Ram and Ravi, differ by 7 years. Ram's mother Mayadevi is three times as old as Ram, and Ravi is four times as old as his brother Soham. The ages of Mayadevi and Soham differ by 65 years. Find the age of Mayadevi (in years).

Step-by-step (Hindi):

• माना राम = R, रवि = V. दिया है: R - V = 7 या V - R = 7.
• मायादेवी (M) = 3R, सोहम (S) = V/4.
• M - S = 65 ⇒ 3R - V/4 = 65 ⇒ 12R - V = 260.
• यदि R - V = 7 (V = R - 7) रखें: 12R - (R - 7) = 260 ⇒ 11R = 253 ⇒ R = 23.
• मायादेवी की उम्र = 3 × 23 = 69 वर्ष।

Answer: 1

Trap: Assumes Ravi is older than Ram, leading to incorrect age calculation.

Q: एक कक्षा में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 2 : 3 है। कक्षा में लड़कों और लड़कियों का औसत भार क्रमशः 18 किग्रा और 21 किग्रा है। सभी लड़कों और लड़कियों का मिलाकर औसत भार (किग्रा में) क्या है?

The ratio of number of boys and girls in a class is 2 : 3. The average weight of boys and girls in the class is 18 kg and 21 kg respectively. What is the average weight (in kgs) of all the boys and girls together?

Step-by-step (Hindi):

• लड़कों का कुल भार = 2 × 18 = 36 किग्रा।
• लड़कियों का कुल भार = 3 × 21 = 63 किग्रा।
• कुल भार = 36 + 63 = 99 किग्रा।
• कुल अनुपात (छात्रों की संख्या) = 2 + 3 = 5.
• औसत भार = 99 / 5 किग्रा।

Answer: 1

Trap: Confuses the new average with the average before the 10th match. (छात्र सीधे 18 और 21 का औसत निकाल लेते हैं जो गलत है)।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: असली संख्या का गुणा करना। Why aspirants fall: छात्र अनुपात (ratio) की जगह वास्तविक संख्या का उपयोग करते हैं जिससे calculation लंबी हो जाती है।
• Trap: जन्म के समय सदस्यों की संख्या गलत लेना। Why aspirants fall: बच्चे के जन्म के समय परिवार के सदस्यों की संख्या (N-1) होती है, लेकिन छात्र N से ही भाग दे देते हैं।
• Trap: उम्र के अंतर में गलत धारणा। Why aspirants fall: Assumes Ravi is older than Ram, leading to incorrect age calculation. हमेशा दोनों cases (A-B और B-A) चेक करें।

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• average-simple : साधारण औसत के मूल नियम
• ratio-proportion : अनुपात और समानुपात के ट्रिक्स
• mixture-alligation : मिश्रण और एलिगेशन विधि