मिश्रण का नियम · Alligation Rule

संक्षेप में | In Brief

मिश्रण (Alligation) एक शॉर्टकट तकनीक है जिसका उपयोग दो अलग-अलग मूल्य या सांद्रता (concentration) वाली चीजों को मिलाने पर बनने वाले मिश्रण का अनुपात निकालने के लिए किया जाता है। यह Weighted Average का ही एक तेज़ तरीका है जिससे परीक्षा में समय बचता है।

Alligation is a shortcut technique used to find the ratio in which two ingredients of different prices or concentrations must be mixed to produce a desired mixture. It is a faster method for weighted averages.

मुख्य सूत्र / नियम | Core Formulas & Rules

• Cross Method (क्रॉस नियम): सस्ती वस्तु का मूल्य (C) और महँगी वस्तु का मूल्य (D), बीच में मिश्रण का औसत मूल्य (M)। अनुपात = (D - M) : (M - C)।
  Cheaper price (C), Dearer price (D), Mean price (M) in middle. Ratio = (D - M) : (M - C).*
  * Trick: हमेशा बड़े में से छोटा घटाएं (Cross subtraction) और diagonal के नीचे लिखें।
• Base Consistency (समान आधार): Alligation हमेशा समान प्रकार की values पर लगता है। अगर C और D क्रय मूल्य (CP) हैं, तो M भी CP ही होना चाहिए।
  Alligation is always applied on the same type of values. If C and D are CP, M must also be CP.*
  * Trick: अगर सवाल में मिश्रण का SP (विक्रय मूल्य) दिया है, तो पहले $CP = SP \times \frac{100}{100 \pm P/L\%}$ लगाकर Mean CP निकालें।
• Free Water Rule (मुफ़्त पानी): दूध और पानी के मिश्रण वाले सवालों में, पानी की कीमत हमेशा 0 रुपये मानी जाती है।
  In milk and water mixtures, the cost of water is always taken as Rs. 0.*
  * Trick: पानी (C) = 0 रखें और दूध (D) का मूल्य रखें।

हल किए गए उदाहरण | Worked Examples

(Note: Synthesized general examples as per instructions)

Q: 52 रुपये/लीटर और 65 रुपये/लीटर वाले दो प्रकार के तरल पदार्थों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए ताकि 60 रुपये/लीटर का मिश्रण प्राप्त हो सके?

In what ratio two types of liquid costing Rs. 52/litre and Rs. 65/litre should be mixed to obtain a mixture of Rs. 60/litre?

Step-by-step (Hindi):

सस्ता (C) = 52, महँगा (D) = 65, मिश्रण (M) = 60

Cross subtraction करें:

पहला भाग = (65 - 60) = 5

दूसरा भाग = (60 - 52) = 8

अनुपात = 5 : 8

Answer: 5:8

Trap: 8:5 चुन लेना। ध्यान दें कि पहला अनुपात 52 वाले का है और दूसरा 65 वाले का।

Q: 60 रुपये/किग्रा और 85 रुपये/किग्रा वाली चाय को किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण को 84 रुपये/किग्रा में बेचने पर 20% का लाभ हो?

In what ratio should tea costing Rs. 60/kg and Rs. 85/kg be mixed so that selling the mixture at Rs. 84/kg gives a profit of 20%?

Step-by-step (Hindi):

यहाँ SP = 84, Profit = 20% है। पहले Mean CP निकालें।

Mean CP = $84 \times \frac{100}{120} = 70$ रुपये।

अब Alligation लगाएँ: C = 60, D = 85, M = 70.

अनुपात = (85 - 70) : (70 - 60) = 15 : 10 = 3 : 2

Answer: 3:2

Trap: सीधे SP (84) को Mean मानकर Alligation लगा देना, जिससे गलत उत्तर आएगा।

Q: 40 रुपये/लीटर वाले दूध में पानी किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य 30 रुपये/लीटर हो जाए?

In what ratio must water be mixed with milk costing Rs. 40/litre to get a mixture worth Rs. 30/litre?

Step-by-step (Hindi):

दूध का मूल्य (D) = 40, पानी का मूल्य (C) = 0, मिश्रण (M) = 30.

अनुपात (दूध : पानी) = (30 - 0) : (40 - 30)

अनुपात = 30 : 10 = 3 : 1

Answer: 3:1

Trap: पानी का मूल्य 1 या कुछ और मान लेना। पानी हमेशा मुफ़्त (0 रुपये) होता है।

Traps & Common Mistakes | जाल और सामान्य गलतियाँ

• Trap: SP पर Alligation लगाना। Why aspirants fall: जल्दबाजी में विक्रय मूल्य (SP) को ही Mean Value मान लेते हैं, जबकि Alligation हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर लगता है।
• Trap: अनुपात का क्रम उल्टा कर देना (A:B की जगह B:A)। Why aspirants fall: Cross subtraction के बाद values को गलत साइड लिख देते हैं। हमेशा याद रखें कि (D-M) सस्ते वाले के नीचे आता है।
• Trap: पानी का मूल्य भूल जाना। Why aspirants fall: दूध-पानी वाले सवालों में पानी का क्रय मूल्य 0 लेना भूल जाते हैं और calculation में फँस जाते हैं।

Related concepts | सम्बन्धित विषय

• mixtures-and-replacements: मिश्रण से कुछ हिस्सा निकालकर बदलना।
• weighted-average: औसत निकालने का मूल और विस्तृत तरीका।
• profit-and-loss-basics: क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के नियम।