📐त्रिकोणमिति सर्वसमिकाएँ
Trigonometry Identities
SSC Quant में सबसे ज़्यादा बार पूछा जाने वाला टॉपिक। मानक कोण तालिका और 3 मुख्य सर्वसमिकाएँ याद करो।
समझें — Concept
SSC में त्रिकोणमिति का मतलब सर्वसमिकाएँ सिद्ध करना नहीं है — यहाँ स्पीड से मान रखकर (substitution) जवाब निकालना है। तुम्हें मानक कोण तालिका (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) और तीन मूल सर्वसमिकाएँ याद रखनी हैं। बस इतना काफ़ी है। SSC के 90% त्रिकोणमिति के सवाल सीधे मान रखकर हल हो जाते हैं। तीन मूल सर्वसमिकाएँ हैं: sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, और 1 + cot²θ = cosec²θ। ये तीनों पहली वाली से ही बनती हैं — अगर sin²θ + cos²θ = 1 समझ लिया, तो cos²θ से भाग दो तो दूसरी मिलेगी, sin²θ से भाग दो तो तीसरी। मानक कोण तालिका जो ज़रूर याद करो: θ = 0°: sinθ=0, cosθ=1, tanθ=0 θ = 30°: sinθ=1/2, cosθ=√3/2, tanθ=1/√3 θ = 45°: sinθ=1/√2, cosθ=1/√2, tanθ=1 θ = 60°: sinθ=√3/2, cosθ=1/2, tanθ=√3 θ = 90°: sinθ=1, cosθ=0, tanθ=परिभाषित नहीं
सूत्र / नियम — Formula / Rule
sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ 1 + cot²θ = cosec²θ शॉर्टकट: अगर expression में sinθ और cosθ हो → पहली सर्वसमिका लगाओ अगर secθ और tanθ हो → दूसरी सर्वसमिका लगाओ अगर cosecθ और cotθ हो → तीसरी सर्वसमिका लगाओ पूरक कोण: sin(90°-θ) = cosθ, tan(90°-θ) = cotθ, sec(90°-θ) = cosecθ
सबसे बड़ी गलतियाँ — Common Mistakes
sin30° (= 1/2) और cos30° (= √3/2) में confusion — याद रखो: sine छोटे से शुरू होता है (0° पर 0), cosine बड़े से शुरू होता है (0° पर 1)
यह भूलना कि tan90° परिभाषित नहीं है — अगर जवाब में tan90° आ रहा है तो expression अनिश्चित है
sec²θ - tan²θ = 1 की जगह tan²θ - sec²θ = 1 लिख देना (चिह्न/sign की गलती!)
आख़िरी स्टेप में √3/√3 = 1 या 1/√3 × √3 = 1 simplify करना भूल जाना
हल किए गए उदाहरण — Worked Examples
यदि sinθ + cosθ = √2 हो, तो sin⁴θ + cos⁴θ का मान ज्ञात करें
(sec²60° - 1) × cos²45° का मान ज्ञात करें
यदि tanθ + cotθ = 2 हो, तो tan²θ + cot²θ का मान ज्ञात करें
टिप्स — Tips
SSC के trig सवालों में ज़्यादातर शॉर्टकट होता है — अगर expression जटिल लग रहा है तो पहले θ = 45° रखकर देखो
अगर secθ - tanθ या cosecθ - cotθ दिखे, तो conjugate से गुणा करो — जवाब बहुत सरल हो जाएगा
a³+b³ और a³-b³ के गुणनखंड सूत्र सीख लो — SSC इन्हें trig के साथ मिलाकर पूछता है